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一元二次方程式是一個只有一個未知數、最高次數是二次的方程式,基本的公式為 $ ax^2+bx+c=0 $

其中,$ ax^2 $是二次項,$ bx $是一次項,$ c $是常數項。$ a \ne 0 $是一個重要條件,否則該式的最高次數就不會是二次[註 1]。當然,一元二次方程式的解有時會出現「無實根」[註 2]的情況。

解方程式编辑

因式分解编辑

使用因式分解來解一元二次方程式的重要關鍵是:若 ab=0 ,則 a=0 或 b=0 。

  • 沒有常數項:
    1. $ x^2+7x=0 $
    2. $ \Rightarrow x(x+7)=0 $ (提出公因式)
    3. $ \Rightarrow x=0 , x+7=0 $ (若 ab=0 ,則 a=0 或 b=0)
    4. $ \Rightarrow x=0 ,-7 $
  • 沒有一次項:
    1. $ x^2+11=36 $
    2. $ \Rightarrow x^2=36-11=25 $ (移常數項)
    3. $ \Rightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{25} $ (兩邊各開根號)
    4. $ \Rightarrow x=5,-5 $[註 3]
  • 完整式:
    1. $ x^2-32x+36=5 $
    2. $ x^2-32x+36-5=0 $ (移項)
    3. $ x^2-32x+31=0 $ (36-5=31)
    4. $ \Rightarrow (x-1)(x-31)=0 $ (使用十字交乘法)
    5. $ \Rightarrow x-1=0 , x-31=0 $
    6. $ \Rightarrow x=1,31 $
  • 完整式 (完全平方式):
    1. $ x^2-10x+25=0 $
    2. $ \Rightarrow (x-5)^2=0 $
    3. $ \Rightarrow x=5,5 $[註 4]
  • 無實根:
    1. $ \frac{1}{2}x^2 -6x + \frac{55}{2}= 0 $
    2. $ \Rightarrow b^2-4ac=36-4(\frac{1}{2})(\frac{55}{2})= 36-55=-19 $

判別式= 36—55=—19

此題無實根。

配完全平方式编辑

參見:一元二次多項式的配方法

配完全平方式,簡稱配方法,是把一元二次方程式使用等量公理的方式配成完全平方式的過程。

簡單來說就是像這樣的式子,其中「一次項係數一半的平方」是指一次項係數除2再平方,如一次項係數是4,那就是要兩邊同加上$ (4\div2)^2 $才能配方。

  1. $ x^2+10x+36=636 $
  2. $ \Rightarrow x^2+10x+36-11=636-11 $ (兩邊同減11)
  3. $ \Rightarrow x^2+10x+25=625 $
  4. $ \Rightarrow \sqrt{(x+5)^2}=\sqrt{625} $ (等號左邊配方、兩邊同開根號)
  5. $ \Rightarrow x+5=25 $
  6. $ \Rightarrow x=20 $

公式解编辑

把二次項係數當作a、一次項係數當b、常數項當c,並代入$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $以求解。

證明编辑

    1. $ ax^2+bx+c=0 $
    2. $ \Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 $ (兩邊同除a)
    3. $ \Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} $ (移常數項)
    4. $ \Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 $ (兩邊同加「一次項係數一半的平方」)
    5. $ \Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 $ (等號左邊配方)
    6. $ \Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} $ (等號右邊通分)
    7. $ \Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

參考文獻编辑

書目编辑

  • 《國中數學2上》,南一出版,2012年8月版

網站编辑

注釋编辑

注釋编辑

  1. 任何數乘以0都為0-包括X2
  2. 即解為虛數。國中課程中亦可寫成「無解
  3. 這裡亦可表示成x=±5
  4. 這裡亦可表示成x=5 (重根)

外部連結编辑