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三角函數是一系列關於三角形長之間關係的函數,目前較常用的有正弦(一般寫作$ \sin{x} $)、餘弦(一般寫作$ \cos{x} $)、正切(一般寫作$ \tan{x} $)、餘切(一般寫作$ \cot{x} $)、正割(一般寫作$ \sec{x} $)、餘割(一般寫作$ \csc{x} $)等。

所有的三角函數皆可由$ \sin{x} $$ \cos{x} $來定義,其中$ \cos{x} $亦可藉由$ \sin{x} $來定義。

定義编辑

PyTriangle

一直角三角形如上圖所示,假設由邊$ A $和邊$ C $所形成的夾角為$ x $的話,則六個三角函數的定義如下:

  • $ \cos{x} = \frac{B}{C} $
  • $ \sin{x} = \frac{A}{C} $
  • $ \tan{x} = \frac{B}{A} $
  • $ \cot{x} = \frac{A}{B} $
  • $ \sec{x} = \frac{C}{A} $
  • $ \csc{x} = \frac{C}{B} $

一般可藉由單位圓來擴張三角函數的定義,藉此將三角函數的值擴展至實數域,也正是因為三角函數在單位圓上的定義,因此三角函數才會是一個周期函數。

關係式编辑

  • $ \cos{x} = \sin{(x + \frac{\pi}{2})} $
  • $ \sin{x} = \cos{(x - \frac{\pi}{2})} $
  • $ \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} $
  • $ \cot{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}} = \frac{1}{\tan{x}} $
  • $ \sec{x} = \frac{1}{\cos{x}} $
  • $ \csc{x} = \frac{1}{\sin{x}} $
  • $ \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 $
  • $ \tan^2{x} + 1 = \sec^2{x} $
  • $ \cot^2{x} + 1 = \csc^2{x} $
  • $ \sin{(-x)} = -\sin{x} $
  • $ \cos{(-x)} = \cos{x} $
  • $ \sin{(x \pm 2\pi)} = \sin{x} $
  • $ \cos{(x \pm 2\pi)} = \cos{x} $
  • $ \sin{0} = \sin{\pi} = 0 $$ \sin{\frac{\pi}{2}} = 1 $$ \sin{\frac{3\pi}{2}} = -1 $
  • $ \cos{0} = 1 $$ \cos{\pi} = -1 $$ \cos{\frac{\pi}{2}} = \cos{\frac{3\pi}{2}} = 0 $
  • $ \sin{(x + y)} = \sin{x}\cos{y} + \cos{x}\sin{y} $($ \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} $)
  • $ \sin{(x - y)} = \sin{x}\cos{y} - \cos{x}\sin{y} $
  • $ \cos{(x + y)} = \cos{x}\cos{y} - \sin{x}\sin{y} $($ \cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x} $)
  • $ \cos{(x - y)} = \cos{x}\cos{y} + \sin{x}\sin{y} $

參見编辑