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三角函數是一系列關於三角形長之間關係的函數,目前較常用的有正弦(一般寫作\sin{x})、餘弦(一般寫作\cos{x})、正切(一般寫作\tan{x})、餘切(一般寫作\cot{x})、正割(一般寫作\sec{x})、餘割(一般寫作\csc{x})等。

所有的三角函數皆可由\sin{x}\cos{x}來定義,其中\cos{x}亦可藉由\sin{x}來定義。

定義编辑

PyTriangle

一直角三角形如上圖所示,假設由邊A和邊C所形成的夾角為x的話,則六個三角函數的定義如下:

  • \cos{x} = \frac{B}{C}
  • \sin{x} = \frac{A}{C}
  • \tan{x} = \frac{B}{A}
  • \cot{x} = \frac{A}{B}
  • \sec{x} = \frac{C}{A}
  • \csc{x} = \frac{C}{B}

一般可藉由單位圓來擴張三角函數的定義,藉此將三角函數的值擴展至實數域,也正是因為三角函數在單位圓上的定義,因此三角函數才會是一個周期函數。

關係式编辑

  • \cos{x} = \sin{(x + \frac{\pi}{2})}
  • \sin{x} = \cos{(x - \frac{\pi}{2})}
  • \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}
  • \cot{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}} = \frac{1}{\tan{x}}
  • \sec{x} = \frac{1}{\cos{x}}
  • \csc{x} = \frac{1}{\sin{x}}
  • \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1
  • \tan^2{x} + 1 = \sec^2{x}
  • \cot^2{x} + 1 = \csc^2{x}
  • \sin{(-x)} = -\sin{x}
  • \cos{(-x)} = \cos{x}
  • \sin{(x \pm 2\pi)} = \sin{x}
  • \cos{(x \pm 2\pi)} = \cos{x}
  • \sin{0} = \sin{\pi} = 0\sin{\frac{\pi}{2}} = 1\sin{\frac{3\pi}{2}} = -1
  • \cos{0} = 1\cos{\pi} = -1\cos{\frac{\pi}{2}} = \cos{\frac{3\pi}{2}} = 0
  • \sin{(x + y)} = \sin{x}\cos{y} + \cos{x}\sin{y}(\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x})
  • \sin{(x - y)} = \sin{x}\cos{y} - \cos{x}\sin{y}
  • \cos{(x + y)} = \cos{x}\cos{y} - \sin{x}\sin{y}(\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x})
  • \cos{(x - y)} = \cos{x}\cos{y} + \sin{x}\sin{y}

參見编辑

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