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二項式定理指以下的定理:

若x和y為複數,n為正整數,則$ (x+y)^n = \sum_{m=0}^n C_{m}^n x^my^{n-m} $,其中$ C_{m}^n = \frac{n!}{m!(n-m)!} $$ n! $代表n的階乘

此定理的證明很初等,利用數學歸納法帕斯卡法則($ C_{m}^n = C_{m}^{n-1} + C_{m-1}^{n-1} $)即可證出。

帕斯卡三角形编辑

帕斯卡三角形,又名楊輝三角形賈憲三角形等,是一個由二項式定理所建構出來的三角形,如下圖所示,其由上往下數的第n項(最上面是第0項)的各個數字相當於$ (x+y)^n $當中各個$ x^my^{n-m} $項的係數。

PascalTriangle

若將此三角形以以下形式寫出,則最左邊的永遠都是1,而其餘每項的數字都是它正上方的數字和正上方左邊一格的數字的和:

係數表
$ y^n $ $ xy^{n-1} $ $ x^2y^{n-2} $ $ x^3y^{n-3} $ $ x^4y^{n-4} $ ......
$ n = 0 $ 1 0 0 0 0 ......
$ n = 1 $ 1 1 0 0 0 ......
$ n = 2 $ 1 2 1 0 0 ......
$ n = 3 $ 1 3 3 1 0 ......
$ n = 4 $ 1 4 6 4 1 ......
... 1 ...... ...... ...... ...... ......
$ n = m $ 1 m ...... ...... ...... ......
... 1 ...... ...... ...... ...... ......

其餘以此類推,且由「最左邊的永遠都是1,而其餘每項的數字都是它正上方的數字和正上方左邊一格的數字的和」甚至於可推知$ (1+x)^n $(也就是說y=1)在$ n < 0 $時的狀況可能是怎樣,進而推廣二項式定理,但要注意的是,對於二項式定理在$ n < 0 $的狀況下的推廣,應當要注意其展開式所得的級數,對某些數可能不成立,如$ n = -1 $時,x就不能為1,不然會得到$ (1+x)^{-1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...... $的古怪結果($ 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...... $這個級數在0與1間震盪,不會收斂)。