FANDOM


是一種運算方法,是一種與「將任意數不斷地與自身相乘」這事相關的運算。

定義编辑

冪原初的定義為將一數不斷地與自身相乘多次,相乘的次數即為其指數

一個數$ a $與自身相乘$ n $次,即記做$ a^n $,意即$ a^n = \begin{matrix} \underbrace{ a \times a \times \cdots \times a } \\ n \end{matrix} $,如5與自身相乘3次,即可記做$ 5^3 $,8與自身相乘2次,即可記做$ 8^2 $

有理數上的定義编辑

$ n $的定義可推廣到任意整數和有理數上,一般定義$ a^{-1} = \frac{1}{a} $$ a^{-n} = \begin{matrix} \underbrace{ a^{-1} \times a^{-1} \times \cdots \times a^{-1} } \\ n \end{matrix} = \begin{matrix} \underbrace{ \frac{1}{a} \times \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a} } \\ n \end{matrix} $

$ a $為任意不為的實數,則定義$ a^0 = 1 $$ 0^0 $一般無意義

$ n = \frac{1}{m} $,其中$ m $是正整數,則$ a^n = \sqrt[m]{a} $

因此若$ n $為任意有理數,且$ n = \frac{p}{q} $,其中$ p $$ q $為任意正整數,則$ a^n = \sqrt[q]{a^p} $

更加擴展的定義编辑

可以透過指數函數$ e^x $自然對數函數$ \ln x $來定義任意數的實數與複數次冪:

$ a^x = e^{x \ln a} $

以此法定義出來之冪與其在其他狀況下的性質相容。

性質编辑

  • $ a^{x+y} = a^x * a^y $
  • $ a^{xy} = (a^x)^y $
  • $ 1^n = 1 $,此處之$ n $為任意數。
  • $ n > 0 $,則$ 0^n = 0 $,若$ n < 0 $,則因0在分母之故,因此無定義;$ 0^0 $一般也無定義。
  • $ a^x = b^{x \log_b a} $

e的冪编辑

$ x $為實數,則$ e^x $可定義如下: $ e^x = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{x}{n})^n = \lim_{n \to \infty} \sum_{m=0}^n \frac{x^m}{m!} $

$ z $為複數,且$ z = x + iy $,其中$ x $$ y $為任意實數,$ i $為虛數單位($ i^2 = -1 $),則$ e^z $可定義如下:

$ e^z = e^x(\cos{y} + i \sin{y}) $

也因此指數函數$ e^x $可用於定義任意數的實數冪和複數冪。

參見编辑