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是一種運算方法,是一種與「將任意數不斷地與自身相乘」這事相關的運算。

定義编辑

冪原初的定義為將一數不斷地與自身相乘多次,相乘的次數即為其指數

一個數a與自身相乘n次,即記做a^n,意即a^n = \begin{matrix} \underbrace{ a \times a \times \cdots \times a } \\ n \end{matrix},如5與自身相乘3次,即可記做5^3,8與自身相乘2次,即可記做8^2

有理數上的定義编辑

n的定義可推廣到任意整數和有理數上,一般定義a^{-1} = \frac{1}{a}a^{-n} = \begin{matrix} \underbrace{ a^{-1} \times a^{-1} \times \cdots \times a^{-1} } \\ n \end{matrix} = \begin{matrix} \underbrace{ \frac{1}{a} \times \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a} } \\ n \end{matrix}

a為任意不為的實數,則定義a^0 = 10^0一般無意義

n = \frac{1}{m},其中m是正整數,則a^n = \sqrt[m]{a}

因此若n為任意有理數,且n = \frac{p}{q},其中pq為任意正整數,則a^n = \sqrt[q]{a^p}

更加擴展的定義编辑

可以透過指數函數e^x自然對數函數\ln x來定義任意數的實數與複數次冪:

a^x = e^{x \ln a}

以此法定義出來之冪與其在其他狀況下的性質相容。

性質编辑

  • a^{x+y} = a^x * a^y
  • a^{xy} = (a^x)^y
  • 1^n = 1,此處之n為任意數。
  • n > 0,則0^n = 0,若n < 0,則因0在分母之故,因此無定義;0^0一般也無定義。
  • a^x = b^{x \log_b a}

e的冪编辑

x為實數,則e^x可定義如下: e^x = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{x}{n})^n = \lim_{n \to \infty} \sum_{m=0}^n \frac{x^m}{m!}

z為複數,且z = x + iy,其中xy為任意實數,i為虛數單位(i^2 = -1),則e^z可定義如下:

e^z = e^x(\cos{y} + i \sin{y})

也因此指數函數e^x可用於定義任意數的實數冪和複數冪。

參見编辑

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