冪

冪是一種運算方法，是一種與「將任意數不斷地與自身相乘」這事相關的運算。

定義

冪原初的定義為將一數不斷地與自身相乘多次，相乘的次數即為其指數。

一個數$a$與自身相乘$n$次，即記做$a^n$，意即$a^n = \begin{matrix} \underbrace{ a \times a \times \cdots \times a } \\ n \end{matrix}$，如5與自身相乘3次，即可記做$5^3$，8與自身相乘2次，即可記做$8^2$

有理數上的定義

$n$的定義可推廣到任意整數和有理數上，一般定義$a^{-1}=\frac{1}{a}$；$a^{-n} = \begin{matrix} \underbrace{ a^{-1} \times a^{-1} \times \cdots \times a^{-1} } \\ n \end{matrix} = \begin{matrix} \underbrace{ \frac{1}{a} \times \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a} } \\ n \end{matrix}$

若$a$為任意不為零的實數，則定義$a^0 =1$，$0^0$一般無意義

若$n = \frac{1}{m}$，其中$m$是正整數，則$a^n = \sqrt[m]{a}$

因此若$n$為任意有理數，且$n = \frac{p}{q}$，其中$p$和$q$為任意正整數，則$a^n = \sqrt[q]{a^p}$。

更加擴展的定義

可以透過指數函數$e^x$與自然對數函數$\ln x$來定義任意數的實數與複數次冪：

$a^x = e^{x \ln a}$

以此法定義出來之冪與其在其他狀況下的性質相容。

性質

• $a^{x+y} = a^x * a^y$
• $a^{xy} = (a^x)^y$
• $1^n = 1$，此處之$n$為任意數。
• 若$n > 0$，則$0^{n} = 0$，若$n < 0$，則因0在分母之故，因此無定義；$0^0$一般也無定義。
• $a^x = b^{x \log_b a}$

e的冪

若$x$為實數，則$e^x$可定義如下： $e^x = \lim_{n \to \infty}(1 + \frac{x}{n})^n = \lim_{n \to \infty} \sum_{m=0}^n \frac{x^m}{m!}$

若$z$為複數，且$z = x + iy$，其中$x$和$y$為任意實數，$i$為虛數單位($i^2=-1$)，則$e^z$可定義如下：

$e^z = e^x(\cos{y} + i \sin{y})$

也因此指數函數$e^x$可用於定義任意數的實數冪和複數冪。

參見

• 乘法
• 開方
• 冪函數
• 指數函數