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同餘初等數論裡的一個重要的概念,若兩個數a與b除以m的餘數相同,或說a-b可被m整除,則說a與b同餘於ma等於b模m

一般將「a與b同餘於m」記作$ a \equiv b \pmod{m} $且有$ a \equiv b \pmod{m} \iff m|a-b $

對於任意整數a而言,所有與a同餘於m的數,構成一個同餘類,如與3同餘於7的同餘類就是$ \left\{......,-25,-18,-11,-4,3,10,17,24,31,......\right\} $這個集合;而若從模m的所有不同同餘類中,各取出一個元素組成的集合,稱為模m的一個完全剩餘系,如模5的完全剩餘系就是$ \left\{5m_0,5m_1+1,5m_2+2,5m_3+3,5m_4+4\right\} $,其中$ m_0 $$ m_1 $$ m_2 $$ m_3 $$ m_4 $是任意整數。很多時候討論模m的完全剩餘系時,都討論由0到m-1(即任意數除m時,在一般定義下所有可能出現的餘數)這幾個數所組成的完全剩餘系,因為不管討論哪個剩餘系,很多定理都會有相同的結果,因此很多時候討論模5的完全剩餘系時,就是討論$ \left\{0,1,2,3,4\right\} $這個剩餘系。

除整數集合外,所有整係數多項式所組成的集合,亦有類似整數的同餘存在。

性質编辑

  • $ a \equiv c \pmod{m} $$ b \equiv d \pmod{m} $,則$ (a \pm b) \equiv (c \pm d) \pmod{m} $$ ab \equiv cd \pmod{m} $
  • (a,m) = 1,則存在一數c,使得$ ca \equiv 1 \pmod{m} $
  • $ ac \equiv bc \pmod{m} $且(c,m) = 1,則$ a \equiv b \pmod{m} $
故若m是質數,則其完全剩餘系對模m的加減乘除構成一個

參見编辑