唯一分解环

在环论中，唯一分解环是环上因式分解的重要研究对象。

定义

设$R$是整环，如果任意一个非零非单位元素$r \in R$都有不可约因式分解，那么我们就称$R$是因式分解（整）环。如果每个非零非单位元素的这种因式分解在不记顺序的前提下是唯一的，我们就称$R$是唯一分解环（unique factorization domain, UFD）。

唯一分解环是整环，反之不真。

性质

设$R$是唯一分解环，$a,b,c\in R$是非零元，那么

1. $(a) \subseteq (b)$当且仅当$b$的所有不可约因子的全体（作为多重集）包含在$a$的所有不可约因子的全体中。
2. $(a) = (b)$当且仅当两个多重集相等。
3. $bc$的所有不可约因子的多重集由$b, c$各自的不可约因子的多重集中元素构成。
4. $b, c$的最大公因子存在。

在唯一分解换中，不可约元是素元，进而又因为整环中素元是不可约元，因此两者等价。那么，满足这样的条件的整环是不是唯一分解环呢？答案是否定的，以下继续说明。

链条件

一个整环$R$是唯一分解环，如果满足如下两个条件：

1. $R$中每一个不可约元是素元；
2. $R$中所有主理想满足升链条件，即对于一列$R$的主理想$\{(r_i)\}_{i=1}^\infty$有
   $$(r_1) \subset (r_2) \subset \cdots \subset (r_n) \subset \cdots$$
   在某个$n \in \mathbb{N}^+$之后有$(r_n) = (r_{n+1}) = \cdots.$

那么$R$是唯一分解环。