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多項式的定義 编辑

多項式,即式子$ f(x) = a_n x^n + ...... + a_1 x + a_0 $,而且若n為正整數,則稱此式為多項式。

=== 名詞解釋 ===

項:多項式中每一個$ x^n $皆稱之為多項式的項

次數:多項式$ x^n $中每一項的n為此項的次數

同次項:若有多個多項式,其中每一項的$ x^k $項稱之為同次項

首項:指多項式的項中次數最大者,若多項式首項為n,則稱此多項式為n次多項式

項數:顧名思義,即為多項式項的數目

係數:指任意多項式$ a_n x^n $中的$ a_n $$ a_n $為多項式

零次多項式(單項式,有時不被視為多項式):指多項式f(x)中,f(x)=c,而沒有其他$ x^n $的項,其中c為常數

零多項式:零次多項式中的c=0者稱

=== 多項式及非多項式 ===

多項式裡面的任意$ x^n $的n必須為正整數,否則不能稱之為多項式

以下的式子為多項式:

$ x^{10} + 60x^8 - 33x^5 +42x^2 - 3 $$ (\sqrt{2} - \sqrt[3]{5})x^2 - \sqrt[4]{6} $$ \pi ^e x^{10^{10}} - 6x +1 $$ (3 + i)x^5 - 2i x^2 + 1 $

以下的式子不為多項式:

$ 2x^3 + 10x^{-1} $$ 5x ^ {\sqrt 2} + x^{3\pi} + 2x - 1 $$ x^3 - 5x^{\frac{2}{3}} + 4\sqrt{x} -3\sqrt[3]{x^5} $$ \sqrt{1 + x^2} $

=== 習題 ===

多項式的計算 编辑

多項式有類似於一般數字的運算,凡舉加減乘除在多項式中都有相對應的算法 當中間有些項的係數為零時,最好將這些項也給寫出來,以減少錯誤,而寫答案時,係數為零的項可省略不寫

=== 加法 ===

若有兩個多項式f(x)和g(x),它們的同次項可相加,例子如下:

例:$ f(x)=2x^4 + 3 x^3 +2 x^2 +5x + 5 $$ g(x)=5 x^4 +10 x^3 + x^2 + 3 x + 2 $

$ f(x) + g(x)=(2 x^4 + 3 x^3 +2 x^2 + 5x + 5) + (5 x^4 +10 x^3 + x^2 +3x + 2) $

$ = 7x^4 + 13 x^3 + 3 x^2 + 8 x + 7 $

=== 減法 ===

例:$ f(x)= 36 x^5 + 7 x^4 + 66 x^3 + 36 x^2 +66x + 36 $$ g(x)= 5 x^5 - 73 x^4 -11 x^3 - 11 x^2 + 5 x + 55 $

$ f(x) - g(x)= (36{\color{Orange}-5})x^5 + (7{\color{Orange}+73})x^4 + (66{\color{Orange}+11}) x^3 + (36{\color{Orange}+11}) x^2 + (66{\color{Orange}-5}) x + (36{\color{Orange}-55}) $

$ = 31x^5 + 80x^4 + 77 x^3 + 47 x^2 + 61 x - 19 $

=== 乘法 ===

多項式的乘法,$ f(x)g(x) $就是$ f(x) $的每一項,都乘以$ g(x) $的每一項,有次方的就累積。
例:$ f(x)=x^2+x+36, g(x)=x^2+x+11 $

則:$ f(x)g(x)=36x^2+ 36x+ 36*11+ 11x^2+ 11x+ x^3+ x^2+ x^4+ x^3 $

$ = x^4+ (1+1)x^3+ (36+11+1)x^2+ (36+11)x+ (36*11)= x^4+2x^3+48x^2+47x+396 $

===除法===

多項式除法,如$ f(x) $除以$ g(x) $,意即求出商式$ q(x) $和餘式$ r(x) $,使得$ f(x)=q(x)g(x)+r(x) $,其中$ \deg(r)<\deg(g) $