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對稱群是一類非常重要的,是一類由作用於某個有$ n $個元素的集合$ M $上的所有映至自身的雙射函數所構成的集合,一般記作$ S_n $,這些函數間彼此的複合(函數間的複合亦可視為一種兩個函數間的二元運算)構成一,且對於任意$ n $而言,$ S_n $$ n! $個元素。

對稱群$ S_n $中的元素又稱為置換,若對一個對稱群$ S_n $中的置換$ \sigma $而言,有$ \sigma(x) = y $$ \sigma(y) = x $,且對任意不等於$ x $$ y $的元素$ z $而言,有$ \sigma(z) = z $,則稱$ \sigma $為一對換

任意置換都可寫成對換的乘積,若一個置換可寫成奇數個對換的乘積,則稱之為一奇置換;若可寫成偶數個對換的乘積,則稱之為一偶置換,兩個奇置換或偶置換的乘積得一偶置換,一個奇置換和一個偶置換的乘積得一奇置換。對某個$ S_n $而言,其所有偶置換亦可構成一群,該群名為交代群,又稱交錯群,一般記作$ A_n $

$ n > 2 $時,$ S_n $不是交換群,且當$ n \ge 5 $時,$ S_n $可解群,且在$ n \ge 5 $時,其主要的正規子群,也就是交代群$ A_n $單群

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