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對稱群(symmetric group)是一類非常重要的,它是一個集合上所有的雙射按照映射之間的合成作爲乘法組成的群,是一類具體的群,Cayley 定理更是指出了所有的群(有限群)可以嵌入到某個變換群(置換群)中去,然而由於對稱群本身的結構要複雜的多,這個定理只是理論上有用。

定義[]

是一類由作用於某個有個元素的集合上的所有映至自身的雙射所構成的集合,一般記作,這些函數間彼此的複合(映射的複合亦可視為一種兩個映射間的二元運算)構成一群,且對於任意正整數而言,個元素。

儅作用的集合元素未必是有限的時候,其上的所有雙射組成的群稱爲變換群,記作

要生成一個對稱群,不必選擇器上的所有元素(稱爲置換),例如可以選擇下面任意一組作爲生成元。

置換[]

參見置換

對稱群中的元素又稱為置換(permutation),若對一個對稱群中的置換而言,有,且對任意不等於的元素而言,有,則稱為一對換(transposition)。

任意置換都可寫成對換的乘積,若一個置換可寫成奇數個對換的乘積,則稱之為一奇置換;若可寫成偶數個對換的乘積,則稱之為一偶置換,兩個奇置換或偶置換的乘積得一偶置換,一個奇置換和一個偶置換的乘積得一奇置換。對某個而言,其所有偶置換亦可構成一群,該群名為交代群,又稱交錯群,一般記作,它是正規子群,且是僅有的二階子群()。

時,不是交換群,且當時,可解群,且在時,其主要的正規子群,也就是交代群單群

是可解群,它有如下可解群列

Cayley 定理[]

參見 Cayley 定理

如果群作用是一个单射(即单同态),我们就称群作用是忠实的(faithful)。

Cayley 定理是说,群作用在某些集合(例如,)上是忠实的,换句话说就是每一个群都可以“嵌入”到一个變换群(可以是)上去,因此有限群可以嵌入到對稱群中去,食指和一個置換群同構。

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