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對稱群

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對稱群是一類非常重要的,是一類由作用於某個有n個元素的集合M上的所有映至自身的雙射函數所構成的集合,一般記作S_n,這些函數間彼此的複合(函數間的複合亦可視為一種兩個函數間的二元運算)構成一,且對於任意n而言,S_nn!個元素。

對稱群S_n中的元素又稱為置換,若對一個對稱群S_n中的置換\sigma而言,有\sigma(x) = y\sigma(y) = x,且對任意不等於xy的元素z而言,有\sigma(z) = z,則稱\sigma為一對換

任意置換都可寫成對換的乘積,若一個置換可寫成奇數個對換的乘積,則稱之為一奇置換;若可寫成偶數個對換的乘積,則稱之為一偶置換,兩個奇置換或偶置換的乘積得一偶置換,一個奇置換和一個偶置換的乘積得一奇置換。對某個S_n而言,其所有偶置換亦可構成一群,該群名為交代群,又稱交錯群,一般記作A_n

n > 2時,S_n不是交換群,且當n \ge 5時,S_n可解群,且在n \ge 5時,其主要的正規子群,也就是交代群A_n單群

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