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度量空間指具有某種表達兩個點間「距離」的函數的空間,這個在該空間用來表達兩點間「距離」的函數又稱之為度量,但事實上可以用不同的方式來定義一個空間的度量。

對集合S而言,其上的度量d為一從S x S映射到實數集的函數,其值恆為大於等於零的實數。

在具有度量d的度量空間S中,度量具有以下的性質:

  1. 對於任意S中的點x而言,d(x,x) = 0
  2. 對於任意S中的點x、y而言,若x與y為不同的點,則d(x,y) > 0
  3. 對於任意S中的點x、y而言,d(x,y) = d(y,x)
  4. 三角不等式:對於任意S中的點x、y、z而言,d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y)

在度量空間中,一般以開球來定義其開集合:對於具有度量d的空間S,若其有一子集U為一開集,則對於任意U中的元素x而言,存在一個以x為「中心點」的開球B(x),其中該開球為U的子集。

一般所謂的歐幾里德空間及其上一般意義下的距離即度量空間之一例。

在度量空間中,一個集合S是緊集,當且僅當S是序列緊致(即任何序列在S中收斂)的。

一個度量空間是完備的,若且唯若在該度量空間中,所有的柯西序列都收斂。

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