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微分在幾何直觀上可看做是某個函數在某點上的斜率,在物理上可視為位移和速度的變化率,一般則指函數在某種狀況下的變化。

定義编辑

若一個函數$ f(x) $定義於閉區間$ [a,b] $上,且映至某實數集合的子集,則$ \forall x \in (a,b) $而言,$ f(x) $$ c $點的導數$ f'(x) $定義為$ f'(x) = \lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} $,若$ f'(c) $存在,則說$ f(x) $$ c $點可微。

$ f'(x) $亦可寫成$ \frac{d}{dx}f(x) $;或設$ y = f(x) $$ y' = f'(x) = \frac{dy}{dx} $

性質编辑

  • $ f(x) $$ c $點可微,則$ f(x) $$ c $連續
  • $ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $
  • $ c $為某常數,則$ (cf(x))' = c(f'(x)) $
  • $ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x) $
  • $ x \ne 0 $$ \frac{1}{f(x)} = \frac{-(f'(x))}{(f(x))^2} $
  • $ f(x) = g(h(x)) $$ f'(x) = (g'(h(x)))(h'(x)) $

一些初等函數的微分编辑

  • $ c $是一個常數,為任意實數,且$ f(x) = c $,則$ f'(c) = 0 $
  • $ f(x) = x^n $$ n \in \mathbb{N} $$ f'(x) = nx^{n-1} \forall x \in \mathbb{R} $
    • 實際上將以上公式中的$ n $給置換成任意實數,此等式皆可成立,但函數定義域可能會不一樣,像例如當$ n $為小於零之整數時,$ x $就不可為零,當$ n = \frac{1}{2m} $$ m $為某整數時,$ x $就不能小於零。
  • $ f(x) = e^x $$ f'(x) = e^x $,其中e為自然對數之基底。
  • $ f(x) = \ln{x} $$ f'(x) = \frac{1}{x} \forall x > 0 $,其中$ \ln{x} $自然對數
  • $ f(x) = \sin{x} $$ f'(x) = \cos{x} \forall x \in \mathbb{R} $,其中$ \sin{x} $$ \cos{x} $皆為三角函數
  • $ f(x) = \cos{x} $$ f'(x) = -(\sin{x}) \forall x \in \mathbb{R} $

推廣编辑

對於多變數和向量的狀況,微分有多種推廣,但不是每種推廣都和普通的微分有同樣的性質。以下為微分的數種推廣:

參見编辑