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整數是自然數的延展,可記作$ \mathbb{Z} $,包括所有的正數與負數及0,是數論重要的研究對象之一。

整數集合是為一可數集,元素個數為無限,雖然看起來有些詭異,但整數集合的元素個數和自然數一樣多。

性質编辑

以下$ + $為通常意義的加法的符號,$ * $為通常意義的乘法的符號。

  • 對任意整數$ a $$ b $而言,$ a + b $之和、($ a - b $之差)與$ a*b $之積亦為整數
  • 沒有最小和最大的整數,對任意整數$ a $而言,存在整數$ b $$ c $,使得$ c < a < b $
  • 對於任意整數$ a $$ b $$ c $而言,$ a*b + c = (a*b) + c $。括弧內的式子為先運算之式子,以下亦然。
  • 對於任意整數$ a $$ b $$ c $而言,$ (a + b) + c = a + (b + c) $$ a + b = b + a $(加法的交換律與結合律)
  • 對任意整數$ a $而言,$ a + 0 = 0 + a = a $
  • 對任意整數$ a $而言,存在一個整數$ (-a) $,使得$ a + (-a) = (-a) + a = 0 $
  • 對任意整數$ a $$ b $而言,$ a - b = a + (-b) = (-b) + a $
  • 對於任意整數$ a $$ b $$ c $而言,$ (a*b)*c = a*(b*c) $$ a*b = b*a $(乘法的交換律與結合律)
  • 對於任意整數$ a $而言,$ a*1 = 1*a = a $
  • 對於任意整數$ a $$ b $$ c $而言,$ (a + b)*c = a*c + b*c $$ c*(b + a) = c*b + c*a $(分配律)
  • 對任意整數$ a $$ b $而言,若$ a \ne 0 $$ b \ne 0 $,則$ a*b \ne 0 $;若$ a $$ b $有一為0,或兩者皆為零,則$ a*b = 0 $。此處的$ \ne $表「不等於」之意。
  • 對任意整數$ a $$ b $而言,$ a > b $$ a < b $$ a = b $這三關係間必有且僅有一個成立。
  • 對於任意自然數$ a $$ b $$ c $而言,若$ a \le b $$ c > 0 $,則$ a*c \le b*c $;若$ a \le b $$ c < 0 $,則$ a*c \ge b*c $;若$ d $為一整數且有$ a \le b $$ c \le d $,則有$ a + c \le b + d $
  • 對任意整數$ a $$ b $而言,若$ a > b $,則存在兩可能為0亦可能不為0的整數$ c $$ r $,使得$ a = b*c + r $,在此一般都取$ b > r \ge 0 $

由此可見,整數對於通常意義的加法和乘法構成一,且為一整環,整環之名其實也是因整數而來。

參見编辑