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整數

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整數是自然數的延展,可記作\mathbb{Z},包括所有的正數與負數及0,是數論重要的研究對象之一。

整數集合是為一可數集,元素個數為無限,雖然看起來有些詭異,但整數集合的元素個數和自然數一樣多。

性質编辑

以下+為通常意義的加法的符號,*為通常意義的乘法的符號。

  • 對任意整數ab而言,a + b之和、(a - b之差)與a*b之積亦為整數
  • 沒有最小和最大的整數,對任意整數a而言,存在整數bc,使得c < a < b
  • 對於任意整數abc而言,a*b + c = (a*b) + c。括弧內的式子為先運算之式子,以下亦然。
  • 對於任意整數abc而言,(a + b) + c = a + (b + c)a + b = b + a(加法的交換律與結合律)
  • 對任意整數a而言,a + 0 = 0 + a = a
  • 對任意整數a而言,存在一個整數(-a),使得a + (-a) = (-a) + a = 0
  • 對任意整數ab而言,a - b = a + (-b) = (-b) + a
  • 對於任意整數abc而言,(a*b)*c = a*(b*c)a*b = b*a(乘法的交換律與結合律)
  • 對於任意整數a而言,a*1 = 1*a = a
  • 對於任意整數abc而言,(a + b)*c = a*c + b*cc*(b + a) = c*b + c*a(分配律)
  • 對任意整數ab而言,若a \ne 0b \ne 0,則a*b \ne 0;若ab有一為0,或兩者皆為零,則a*b = 0。此處的\ne表「不等於」之意。
  • 對任意整數ab而言,a > ba < ba = b這三關係間必有且僅有一個成立。
  • 對於任意自然數abc而言,若a \le bc > 0,則a*c \le b*c;若a \le bc < 0,則a*c \ge b*c;若d為一整數且有a \le bc \le d,則有a + c \le b + d
  • 對任意整數ab而言,若a > b,則存在兩可能為0亦可能不為0的整數cr,使得a = b*c + r,在此一般都取b > r \ge 0

由此可見,整數對於通常意義的加法和乘法構成一,且為一整環,整環之名其實也是因整數而來。

參見编辑

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