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柯西序列指一類符合某些特定條件的序列。

在度量空間中,任何收斂的序列都是柯西序列,但反過來不一定;若對某度量空間而言,其內部的任意柯西序列都收斂,則該空間為完備的,像例如實數$ R $和任意有限維的歐幾里德空間$ R^n $即是完備的,而任意度量空間的緊子集也是完備的。

定義编辑

在具有度量$ d $度量空間$ S $中,一個序列為柯西序列,若其符合以下條件:

對於任意的實數$ \epsilon > 0 $,存在一正整數$ N $,使得每當$ m , n > N $時都有$ d(a_m, a_n) < \epsilon $

參見编辑