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正規子群

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對於任意G而言,若其子群N是一個正規子群,則對於任意G的元素x而言,xN=Nx,且N = xNx^{-1}(此項可由xN=Nx得到),其中x^{-1}x的逆元,意即對N而言,其任意左陪集與相對應的右陪集恆等,且若yN的元素,對於任意G的元素x而言,xyx^{-1}亦為N的元素。

雖若N是正規子群,即對於任意G的元素x而言,有xN=Nx,但這不表示對於任意N中的元素y而言,有xy=yx,也就是說,即使N是G正規子群,也不能推出N中的任意元素對G中的任意元素具有交換律。

對於任意群G而言,G自身與僅由單位元構成的子群{e}皆是其正規子群;對於任意交換群而言,其所有的子群皆是正規子群;若G'是群G的導群,則G'是正規子群,且商群G/G'是為一交換群。

單群编辑

主條目:單群

若對於一個群G而言,除了G自身與僅由單位元構成的子群{e}之外,沒有其他的正規子群的話,那G即是所謂的單群,若G是單群,且是元素數有限的交換群,則G必是質數階(即元素個數為質數)的循環群,這很容易證明,但除此之外,要分類所有的單群,是個極為困難的工作,然而此工作目前已告一段落。

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