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環 (抽象代數)

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是為的衍生結構,其上有兩種運算,一般分別稱之為「加法」與「乘法」。

若一集合S對加法與乘法成一環,則其加法和乘法符合以下條件:

  1. S對加法的運算構成一交換,其中加法單位元又稱零元,一般可將零元記作0
  2. S對乘法的運算具有結合律
  3. S具有左分配律及右分配律,即若x、y、z為任意S的元素,則此些元素符合以下的條件:
    1. x(y+z) = xy + xz
    2. (x+y)z = xz + yz

有時候一個集合需符合「S的乘法有乘法單位元e,使得對任意S的元素x而言,xe = ex = x」這個條件,但並不是每個作者都會用這第四條件做為環的定義。

若一環上對乘法有交換律,則稱其為交換環

若對一環S上的乘法而言,存在兩個非零元素x、y,使得xy = 0,則稱x為左零因子,y為右零因子,若一代數環上沒有任何零因子,則稱其為無零因子環

所有整數,包括正整數及負整數在內,所構成的集合,也就是所謂的整數集合,即環之一例,且整數環為一無零因子之交換環。

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