平面直角坐标系

最簡單的平面坐標圖

平面直角坐标系，或称作直角坐标平面、坐标平面，是数学上一种能表达座标位置的平面图形。

平面直角坐标系上的一点要用有序数对$(x,y)$表示，并具有互相垂直的两条数轴及原点(O点)。水平的数轴为x轴(横轴)；铅直的数轴则为y轴(纵轴)。

基本元素

象限

平面坐标上的四象限

象限是把平面坐标用x轴和y轴切割出来的四块区域。

• 第一象限：各点坐标必为正数 (+,+)。物理学上有很多图表都使用平面坐标的第一象限来呈现。
• 第二象限：各点坐标必为(-,+)。
• 第三象限：各点坐标必为负数 (-,-)。
• 第四象限：各点坐标必为(+,-)。

点

• 在x轴或y轴上的点不属于任何一个象限。
  • 在x轴上的点：$(0,y)$，如$(0,2)$、$(0,7)$
  • 在y轴上的点：$(x,0)$，如$(2,0)$、$(7,0)$
  • 在x轴和y轴上的点：$(0,0)$，就是所谓的原点。
• x轴上移2单位长、y轴左移7单位长的点为$(2,-7)$

象限角

在坐标平面上给定一角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边落在第几象限就是第几象限角。

距离

在平面上笛卡尔坐标为${\displaystyle (x_{1},y_{1})}(x_{1},y_{1})$和${\displaystyle (x_{2},y_{2})}(x_{2},y_{2})$的两个点之间的欧几里得距离是：

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$

格点

格点是平面直角坐标系中一类特殊的点，即横纵坐标均为整数的点. 有关格点可以延申出很多的问题.

格点正多边形存在性

容易发现格点正四边形（即正方形）存在，但是我们貌似并未听闻有关格点正五边形等. 事实上，当$n\neq 4$的时候，格点正$n$边形不存在，也就是只有格点正方形.

证明：为了简化讨论我们需要找到符合题意且最简单的、不失一般性的情况. 于是不妨设正$n$边形$OA_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n-1}$（其中O是坐标原点），并设边$OA_{1}=1$在x轴正半轴上，于是$A_{n-1}(\cos {\frac {(n-2)\pi }{n}},\sin {\frac {(n-2)\pi }{n}})$也应是格点，但这样的$n$只有4，故只存在格点正方形.

Pick 定理

Pick 定理描述格点多边形的面积$S$满足$S=i+{\frac {b}{2}}-1$，其中$i$表示多边形内部的格点，$b$表示多边形边上的格点数. 证明采用数学归纳法：首先证明对三角形满足，其次将$n(n\geq 4)$边形切割为一个三角形和一个$n-1$边形即可.

1. 三角形：容易证明四边均平行于坐标轴的矩形满足 Pick 定理，因此将其沿对角线切割为一个直角三角形，于是可以证明 Pick 定理对于两直角边平行于坐标轴的直角三角形成立. 最后推广到任意三角形：可以将三角形放在一个矩形里面，使得这个三角形“内接于”矩形，于是接下去按分割的情况讨论：
   • 对于一边平行于坐标轴的三角形，可以发现这可以分割为大矩形减去两个小三角形的面积，于是 Pick 定理成立；
   • 对于分割出来结果为矩形的面积减去三个小直角三角形的面积的三角形，Pick 定理依旧成立；
   • 对于最后一种，即分割结果中有一个凹四边形的三角形，将凹四边形分割为一个矩形和两个直角三角形，Pick 定理仍然成立. 故该定理对$n = 3$成立.
2. 多边形：接下来对$n \geq 4$进行归纳：假设其对$n=k$成立，则对于所要求的$k+1$边形，可以分割为一个三角形$X$和$k$边形$Y$. 设它们的公共边上有$i$个格点，则有：
   $${\begin{aligned}S_{XY}&=S_{X}+S_{Y}\\&=(i_{X}+{\frac {b_{X}}{2}}-1)+(i_{Y}+{\frac {b_{Y}}{2}}-1)\\&=i_{XY}+{\frac {b_{XY}}{2}}-1\end{aligned}}$$
   故 Pick 定理成立.

变换

参见 坐标变换

应用

用于联系几何与代数，使得代数方法可以在几何中使用，或者相反。

解方程

坐标系可以方便的解出一些方程（组），已被用于计算机计算估计解。以下是用其解二元方程的例子。

File:二元一次方程式图形范例1.png

30x+16y=480的图形

$ax+by=0$的图形为一通过原点的直线。 $a x + b y = c$的图形为一不通过原点的直线。 做法：如求出$30x+16y=480$的图形 1. 先求出$30x+16y=480$的两组解：

x	0	16
y	30	0

2. 在平面坐标图上标上(0,30)和(16,0)两点，并将它们用直线相连

• $ax=c$的图形为一与x轴平行的直线。
  • $ax=0$的图形为一与x轴重叠的直线；亦指它就是x轴。
• $by=c$的图形为一与y轴平行的直线。
  • $by=0$的图形为一与y轴重叠的直线；亦指它就是y轴。

二元一次联立方程式图形

• 该方程组有一组解：两直线交于一点。
  • $\begin{cases} x - y = 2 \\ 17x + 19y = 4 \end{cases}$
• 该方程组无限多组解：两直线重叠。
  • $\begin{cases} 8x - 15y = 1 \\ 16x - 30y = 2 \end{cases}$
• 该方程组无解：两直线平行。
  • $\begin{cases} x = y \\ x = y + 1 \end{cases}$

参考文献

书目

• 《国中数学1下》，南一出版

拓展阅读

• 极坐标系
• 维基笔记-平面坐标
• [1]