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在拓扑学中,紧空间又称紧致空间(compact space)是一类重要的拓扑空间,同时也是 Lindelof 空间

定义[]

假设是拓扑空间,我们称它是紧空间是指任意开覆盖都有有限子覆盖。

假设是拓扑空间,的子集,我们称它是紧集是指作为子空间是紧空间,这等价于每一个由中的开集构成的的覆盖都有有限子覆盖。

拓扑空间中任意有限子集都是紧集。

等价刻画[]

假设有拓扑空间是紧空间当且仅当的每一个具有下述性质的闭集族都有非空交,这个性质是:的每一个有限子族有非空交。

另外,拓扑空间的紧性由它的一组拓扑基决定,这是说:拓扑空间紧当且仅当的一组拓扑基中元素构成的每一个覆盖都有有限子覆盖。如果一个拓扑空间的拓扑基可以有有限个元素构成,那么这个空间显然是紧的。

基本性质[]

  1. 紧性是可商的:假设连续映射紧,那么紧。
  2. 紧性不是可遗传的性质,但是紧空间中的闭子集是紧集。
  3. 任意拓扑空间都是某个紧空间的开子空间。对于非紧空间,它可以是原空间的一点紧化的开子空间。
  4. 紧性是可积的性质:紧空间的有限乘积空间是紧的。
  5. 有限个紧集的并集是紧集。
  6. 任意紧闭集的交集还是紧集。
  7. 紧集的闭包可以不是紧集。

分离性质[]

紧致性和分离性结合会使得拓扑空间的结构变得更为简单。

  1. Hausdorff 空间中紧致子集是闭集,因此紧致的 Hausdorff 空间中紧集和闭集等价,从而是的。
  2. Hausforff 空间中,两个不交的紧集存在各自的开邻域使得它们不相交,因此紧致的 Hausdorff 空间是的。
  3. 对于空间中的紧集的开邻域,存在的开邻域使得因此紧致的空间是的。
  4. 对于空间中的紧集,如果,那么紧。
  5. 紧空间到 Hausdorff 空间的任意连续映射是闭的,因此若是双射,则同胚
  6. 紧空间上的连续函数有界且可以达到上下确界。
  7. 对于紧致的 Hausdorff 空间来说,可度量化当且仅当第二可数

度量空间[]

度量空间中的紧性有更直观和简单的性质(注意度量空间满足所有的分离公理)。

  1. 紧致度量空间是有界的,因此度量空间中紧集是有界集。
  2. 度量空间中两非空紧集的距离可达:存在
  3. Euclid 空间中紧集等价于有界闭集,但是一般的度量空间中有界闭集不一定是紧集。
  4. Euclid 空间的一点紧化同胚于为单位球面

度量空间中,这些紧致性的概念是等价的:假设是度量空间,那么

  1. 紧空间
  2. 伪紧空间
  3. 列紧空间
  4. 可数紧致空间
  5. 序列紧致空间

伪紧空间[]

假设是拓扑空间,如果对任意连续函数,象集中的有界集,我们就称是伪紧空间。

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