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群同態,有時簡稱同態,是關於的函數的同態

若一個群同態的函數為雙射,則其為一同構,兩個同構的群可視為具有相同的結構,若兩個群GG'同構,則可記作G \cong G'

若一個群同態的函數為同構,且從一個群映至該群自身,則該函數為一自同構,群G的自同構集合可記作Aut(G)

定義编辑

若一個從群G映至群G'的函數f,具有以下性質,則f為G到G'</math>的一個同態(假設解析失败 (句法错误): @解析失败 (句法错误): " 分別是GG'上構成群的運算):

解析失败 (句法错误): f(x@y) = f(x)"f(y)


性質编辑

以下設f為從群G映至群G'的函數。為方便起見,因此假設GG'中,構成群的運算皆為「乘法」運算,並省略運算符號:

  • eG的單位元;e'G'的單位元,則f(e) = e'
  • f(x^{-1}) = (f(x))^{-1}
  • 若對於G的元素x而言,f(x) = e',則(f(x))^{-1} = e'。所有使得f(x) = e'的x所組成的集合稱作「f的」,一般可記作Ker(f)
  • (同構基本定理)若f為一個從群G映至群G'的同態,Ker(f)為其核,Im(f)為函數f的像,則Ker(f)G正規子群,且Ker(f) \cong Im(f)

參見编辑

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