群同態

在群論中，群同態（group homomorphism）是關於群的函數的同態。

定義

若一個從群$(G, \cdot_1)$映至群$(H, \cdot_2)$的映射$\varphi$具有以下性質

$$\varphi (x \cdot_1 y) = \varphi(x) \cdot_2 \varphi(y), \forall x, y \in G.$$

則稱$\varphi$為$G$到$H$的一個群同態。

若一個群同態的映射$\varphi: G \to H$為雙射，則其為一群同構（group isomorphism），記作$G \cong H$，兩個同構的群具有相同的結構。

若一個$G$上的群同態$\varphi: G \to G$為同構，則該映射為一自同構，群$G$的自同構集合可記作$\operatorname{Aut} (G)$。

基本性質

以下設$\varphi: G \to H$是群同態。為方便起見，因此假設$G$和$H$中，構成群的運算皆為「乘法」運算，並省略運算符號：

• （零元運算，保持單位元）若$e_G$是$G$的單位元，$e_H$是$H$的單位元，則$\varphi(e_G) = e_H.$
• （一元運算，保持逆元）$\varphi(x^{-1}) = (\varphi(x))^{-1}, \forall x \in G.$

定義中的性質可理解爲二元運算，保持乘法。

典範分解

群同態$\varphi: G \to H$可以分解為以下映射的複合

$$\begin{align} G \overset{\pi}{\longrightarrow} G/\operatorname{Ker} \varphi \overset{\tilde{\varphi}}{\longrightarrow} \operatorname{Im} \varphi \overset{j}{\longrightarrow} H. \end{align}$$

因此我們將同態$\varphi$分解爲一個滿射$\pi: G \to G/\operatorname{Ker} \varphi$，雙射$\tilde{\varphi}: G/\operatorname{Ker} \varphi \to \operatorname{Im} \varphi$（第一同構定理），單射$j: \operatorname{Im} \varphi \to H$的複合。

群同構對性質的保持

我們可以在一定程度上把同構的群看作是一樣的群，但是在有的時候它們是有區別的，這些區別不是由群的結構引起的，而是由群的運算導致的。例如：假設$G_1, G_2$是兩個群，$H_1, H_2$分別是它們的正規子群，$G_1/H_1, G_2/H_2$是對應的商群，我們斷言：上面的三組群，如果其中兩組同構，我們是得不到第三組同構的，即便它們都是交換群，以下是例子：

1. （商群不同構）$G_1 = G_2 = H_1 = \Z, H_2 = 2\Z$，那麽$G_1 / H_1 = \{ 0 \} \not\cong G_2 / H_2 = \Z_2.$
2. （子群不同構）$G_1 = G_2 = \Z(p^\infty), H_1 = \{ 0 \}, H_2 = \langle 1/p \rangle$，那麽$G_1 / H_1 \cong G_2 / H_2 \cong \Z(p^\infty).$（參見Z(p^∞)）
3. （群自身不同構）$G_1 = \Z_4, G_2 = \Z_2 \times \Z_2, H_1 = 2\Z_4, H_2 = \Z_2$，那麽$G_1 / H_1 \cong G_2 / H_2 \cong \Z_2.$

參見

• 群
• 群范疇
• 群作用
• 環同態