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若x是G的一個元素,而H是G的子群,則$ xH = \left\{xy|y \in H \right\} $ 稱為H的左陪集$ Hx = \left\{yx|y \in H \right\} $稱為x的右陪集

所有G的左陪集的集合一般記作$ G / H $;所有G的右陪集的集合一般記作$ G \setminus H $

對於群G的任意子群H而言,左陪集和右陪集的個數相等,且x為H的元素,若且唯若$ xH=H $,因此H與其陪集要不為同一個集合,要不就彼此不相交,且H與其所有左(右)陪集的聯集為集合G本身。

雖然左陪集和右陪集的個數相等,但對於任意G的某個子群H和某個元素x而言,$ Hx = xH $這等式一般不成立。

由群G及其子群H和H陪集的關係,可導出拉格朗日定理:若群G的元素個數為m,G的子群H的元素個數為n,則n|m,即n是m的因數,但此定理反過來不成立,如交代群$ A_4 $是個有十二個元素的群,但$ A_4 $沒有具有六個元素的子群。

若H是群G的某個子群,且對於任意G的元素x而言,有$ xH=Hx $,則稱H為G的正規子群

參見编辑