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群的陪集

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若x是G的一個元素,而H是G的子群,則xH = \left\{xy|y \in H \right\} 稱為H的左陪集Hx = \left\{yx|y \in H \right\}稱為x的右陪集

所有G的左陪集的集合一般記作G / H;所有G的右陪集的集合一般記作G \setminus H

對於群G的任意子群H而言,左陪集和右陪集的個數相等,且x為H的元素,若且唯若xH=H,因此H與其陪集要不為同一個集合,要不就彼此不相交,且H與其所有左(右)陪集的聯集為集合G本身。

雖然左陪集和右陪集的個數相等,但對於任意G的某個子群H和某個元素x而言,Hx = xH這等式一般不成立。

由群G及其子群H和H陪集的關係,可導出拉格朗日定理:若群G的元素個數為m,G的子群H的元素個數為n,則n|m,即n是m的因數,但此定理反過來不成立,如交代群A_4是個有十二個元素的群,但A_4沒有具有六個元素的子群。

若H是群G的某個子群,且對於任意G的元素x而言,有xH=Hx,則稱H為G的正規子群

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