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群 (抽象代數)

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是一類其元素對某種運算具有某些性質的集合。

一個集合S上的運算「‧」(一般往往將此運算視作「乘法」)構成一個群,若對任意S的元素x、y、z而言,運算「‧」具有以下的性質:

  1. 封閉性:x‧y依舊是S的元素
  2. 結合律:(x‧y)‧z = x‧(y‧z)
  3. S中存在一個元素e,使得x‧e = e‧x,此e又稱為單位元
  4. 對於S中任意非e的元素而言,存在一個S的元素c,使得x‧c = c‧x = e,此c即x的逆元素。

若對一個群S之運算「‧」而言,交換律成立,亦即對S的任意元素x、y而言,x‧y = y‧x,則稱此群為交換群阿貝爾群

若集合S的一個子集T之元素對運算「‧」亦構成一個群,則稱T為S的子群,若以|X|表示集合X的元素個數,則|T|為|S|的因數,另群S的元素個數|S|又稱作「」。

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