在抽象代数中,群(group)是一个基本的概念,在集合论的公理化中,群是一个非空集合加上满足某些性质的运算的一个整体。
定义[]
设有一个非空集合,其上定义了一个二元运算。我们称是一个群,如果
- 结合性:
- 单位元:
- 逆元:
群在不引起混淆的情况下也记作,该运算也称作群上的“乘法”。
- 群中的单位元是唯一的,通常将其记作;
- 群中的逆元是唯一的,对于的逆元,通常将其记作
为了方便,我们使用记号代替的“乘法”,同时也表示其运算的结果;另外使用记号表示个做“乘法”运算,其中,约定 但这个“乘法”仅仅是该二元运算便于理解的俗称. 千万不可将其与通俗意义上的乘法混淆!
交换群[]
称一个群是可交换的(换言之,是交换群或称Abel 群),如果满足
在交换群中,我们通常使用作为群上的运算,这时对应的单位元也称作零元,记作(它是中的元素,切不可和自然数零混淆),元素的逆元也称作负元,记作。
在交换群中,也有相应的记号以及约定
阶[]
在一个群中,元素,如果,使得,我们取最小的正整数,将其称作元素在群中的阶(order),记作,如果,我们就称元素在群中的阶为无穷,记作
实际上,由带余除法可知,所有使得的总是的倍数。
对于,有
请将群的阶的概念和同余类(一种特殊的群)的元素的阶作比较。
例子[]
- 最简单的群只有一个元素,定义的运算是,自身就是单位元,称为平凡群。
- 整数全体关于加法构成交换群,进一步,任意数域关于加法构成交换群,一向量空间中的向量关于加法构成交换群。
- 整数(除去零)关于乘法构成一群。
- 整数关于模一数同余构成一群,详见同余类的代数结构。
- 一可列集合关于该集合到自身的所有双射构成一群,称为对称群,记作
- 正边形上的点关于所有的旋转与过对称轴的翻折的操作构成一群,称为二面体群,记作