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自然數是最為「自然」的數,也可說是數學的根本,其數量是無限的,每個數字都有數字比它更大,包含所有自然數的集合一般稱作自然數集合,自然數集合又記作$ \mathbb{N} $,不包含0的自然數集合又稱正整數集合。

自然數集合可透過Peano公理來定義。

若對於一個集合X而言,存在一個由自然數集合或自然數的子集{1,2,3,......,n}映至X的雙射函數f,則稱X為可數集,因此自然數集合本身是可數的。


整數有理數實數複數四元數八元數十六元數基數等都是由自然數衍生而來。 會了嗎? 加油

性質编辑

以下$ + $為通常意義的加法的符號,$ * $為通常意義的乘法的符號。

  • 對於任意自然數$ a $$ b $而言,$ a + b $之和與$ a*b $之積亦為自然數。
  • 0(或1,若不把0視為自然數)為最小之自然數,因此對於任意自然數$ a $而言,$ a \ge 0 $(或$ a \ge 1 $,若不把0視為自然數),但不存在最大的自然數。
  • 對於任意自然數$ a $$ b $$ c $而言,$ a*b + c = (a*b) + c $。括弧內的式子為先運算之式子,以下亦然。
  • 對任意自然數$ a $$ b $而言,若$ a \ge b $(或$ a > b $,若不把0視為自然數),則$ a - b $之差亦為自然數
  • 對於任意自然數$ a $$ b $$ c $而言,$ (a + b) + c = a + (b + c) $$ a + b = b + a $(加法的交換律與結合律)
  • 對任意自然數$ a $而言,$ a + 0 = 0 + a = a $
  • 對於任意自然數$ a $$ b $$ c $而言,$ (a*b)*c = a*(b*c) $$ a*b = b*a $(乘法的交換律與結合律)
  • 對於任意自然數$ a $而言,$ a*1 = 1*a = a $
  • 對於任意自然數$ a $$ b $$ c $而言,$ (a + b)*c = a*c + b*c $$ c*(b + a) = c*b + c*a $
  • 對任意自然數$ a $$ b $而言,若$ a \ne 0 $$ b \ne 0 $,則$ a*b \ne 0 $;若$ a $$ b $有一為0,或兩者皆為零,則$ a*b = 0 $。此處的$ \ne $表「不等於」之意。
  • 對任意自然數$ a $$ b $而言,$ a > b $$ a < b $$ a = b $這三關係間必有且僅有一個成立。
  • 對於任意自然數$ a $$ b $$ c $而言,若$ a \le b $,則$ a + c \le b + c $$ a*c \le b*c $,又若$ d $為一自然數且有$ a \le b $$ c \le d $,則有$ a + c \le b + d $$ a*c \le b*d $
  • 對任意自然數$ a $$ b $而言,若$ a < b $,則有一自然數n,使得$ na \ge b $(阿基米德公理)
  • 若把0視為自然數,則對任意自然數$ a $$ b $而言,若$ a > b $,則以下兩關係式有且僅有一個成立:
    • 存在一個不為零的自然數$ c $,使得$ a = b*c $
    • 存在一個不為零的自然數$ c $及一個小於$ b $且大於零的自然數$ r $,使得$ a = b*c + r $

由是可知,自然數(在通常定義下)的加法和乘法滿足交換律結合律分配律

參見编辑