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質數是指只能被1或自身整除的自然數數論的研究中,許多主題與質數相關。

從某種角度來看,質數可說是整數的原子。

不是質數且比2大的數稱為合數,另01不是質數,也不是合數

雖已在兩千多年前,歐幾里德就已用反證法證明質數有無限多個,但直至今日,人們對質數於正整數中的分佈並沒有很確切的了解。

性質编辑

  • 除了2以外,所有的質數都是奇數;且除了5以外,在十進制下,沒有質數以5結尾。
  • 可以很容易證明質數有無限多個,而且許多定理亦蘊含了質數是無限多個的事實。
  • 有些質數和另一個質數之間只差2,這一對差2的質數又稱孿生質數,目前尚不知孿生質數是否有無限多對。
  • 若p和p+2為任意大於等於5的孿生質數,則其間的p+1可被6除盡,因為p、p+1和p+2必有一數可為3除盡,且p和p+2皆為大於5質數之故(除了2以外,所有的質數都是奇數),因此p+1必為偶數且為3所除盡。
  • 對於任意的正整數n而言,n與2n間至少有一質數。
  • 任意正整數都可唯一地表示成質數乘方的乘積(算術基本定理)。
  • 若一個數n是合數,則它必定有一個因數小於等於\sqrt{n},因此若要驗證任意數n是否是質數,只要讓n被所有小於等於\sqrt{n}的質數除過一遍就好了。
  • 對於任意正整數n>=1而言,n和2n間至少會有一個質數。
  • 對於任意正整數n而言,我們永遠可以找到n個彼此相鄰且不是質數的數,只要取(n+1)! + 2(n+1)! + 3 ...... (n+1)! + (n+1)(其中第一個數可被2除盡、第二個數可被3除盡,以此類推)即可。

應用编辑

質數自從被發現以來,有很長一段時間,質數在人類社會都沒有什麼數學研究外的用途,但近年來此現象已出現改變,以下為已知質數的可能用途。

  • 目前質數已被用於某些加密系統中,如RSA加密演算法
  • 某些種類的蟬需要13或17年的時間才能羽化,某些生物學家認為之所以使用質數的週期,可能和藉此將生命週期與獵食者、寄生蟲等的生命週期錯開的因素有關。

參見编辑

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