余切

余切（Cotangent，一般记作${\textstyle \cot}$，或者ctg）是三角函数的一种。它的定义域是整个不等于$k\pi$的实数的集合，$k$为整数，值域是整个实数集。它是周期函数，其最小正周期为$\pi$。余切函数是奇函数。

符号说明

余切最早用符号tan.com表示，该符号同正切一样，最初由T.芬克使用。后来人们又逐渐将该符号简化为ctg，后来又改为cot，与现代符号完全相同。

定义

直角三角形定义

直角三角形定义

在直角三角形中，一个锐角$\angle A$的余切定义为它的邻边与对边的比值，也就是：

$$\cot A = \frac{b}{a}$$

其定义和正切函数互为倒数。

平面直角坐标定义

设$\theta$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，$P\left( {x,y} \right )$是角的终边上一点，则$\theta$的余切定义为：

$$\cot \theta = \frac{x}{y}$$

单位圆定义

单位圆的两种定义

在平面坐标系中，有一个以原点为圆心半径为一个单位长度的圆（即单位圆）。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角$\theta$（逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角），并与单位圆相交于A点。余切可以通过以下两种方式定义：

1. 记单位圆与y轴的交点为E，过E作垂直于y轴的直线，该直线于OA延长线交于一点P，则P到y轴的距离为该角余切的绝对值（一、三象限为正值；二、四象限为负值）。（图中蓝线）
2. 过A点做一直线，与单位圆相切，直线与y轴的交点与A点之间的距离即为该角度的余切值（一、三象限为正值；二、四象限为负值）。（图中绿线）此时，正切线和余切线共线。

级数定义

$$\cot x = \frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\frac{2 x^5}{945}-\frac{x^7}{4725}-\frac{2 x^9}{93555}+...$$

微分定义

$\cot 'x\ = -\csc^2 x$

$\cot x = (\ln (\sin x))' \,$

指数定义

$$\cot \theta = \frac{{\mathrm{i}}(e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta})}{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,$$

恒等式

用其它三角函数来表示余切

函数	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$	$\sec$	$\csc$
$\cot \theta$	${\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta}$	${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$	${1 \over \tan\theta}$	$\cot\theta\$	${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$

和差角公式

$\cot(\theta\pm\psi)=\frac{\cot\theta\cot\psi\mp1}{\cot\psi\pm\cot\theta}$

倍角公式

$\begin{align}\cot 2\theta &= \frac{\cot^2 \theta - 1} {2\cot\theta}\\ & = \frac{1}{\cot\theta - 1}-\frac{1}{\cot\theta + 1}\\ \end{align}$

$\cot 3\theta =\frac{\cot^3\theta - 3\cot\theta}{3 \cot^2\theta-1}$

递推公式

$\cot\,n\theta = \frac{\cot (n{-}1)\theta\,\cot \theta - 1}{\cot (n{-}1)\theta + \cot \theta}$

半角公式

$\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\ &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}\\ &= \frac{\cos \theta-\sin \theta+1}{\cos \theta+\sin \theta-1} \end{align}$

余切定理

参见：余切定理

拓展阅读

• 三角函数线
• 三角恒等式