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Peano公理是一個和自然數集合相關的公理,用這些公理可建構出具有一般熟悉性質的自然數集合

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\mathbb{N}為自然數集合,若它具備以下特質:

  • 存在一個元素e,使得e \in \mathbb{N},意即e是自然數。
  • 對於所有的x \in \mathbb{N},存在一個唯一的元素x^+ \in \mathbb{N},使得xx^+相對應,如此的x^+稱為x的後繼。
  • 對於任意的x \in \mathbb{N}x^+ \ne e
  • 對於任意的x,y \in \mathbb{N},若x^+ = y^+x = y
  • 數學歸納法:若P(m)是一個關於自然數的命題,則每當命題對P(e)成立,且對任意的n \in \mathbb{N}時,P(n)成立可推出P(n^+)成立時,則P(m)對於任意的m \in \mathbb{N}都成立

另以下是對於\mathbb{N}中「相等」這概念的定義:

  • 對於任意的x \in \mathbb{N}x = x
  • 對於任意的x \in \mathbb{N},若x = y,則y = x
  • 對於任意的x \in \mathbb{N},若x = yy = z,則x = z
  • x \in \mathbb{N}x = y,則y \in \mathbb{N},意即若x和y相等,且x為自然數,則y亦是自然數。

若0被視為自然數,則e = 0;若0不被視為自然數,則e = 1,兩種狀況下所定義的加法和乘法,會有一些差異。

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